سری فوریه غیر هارمونیک و بسط موجک

در فصل دوم‏ رساله، سیستم های گابور تولید شده توسط تابع گاوسین را در نظر می گیریم و برخی از نتایج کلاسیک پالی و وینر در رابطه با سری فوریه ی ناهمساز از توابع نمایی مختلط را برای بسط گابور ثابت می کنیم. به ویژه‏، نسخه ای از قضیه ی پلانشرل-پولیا را برای توابع تام با نرخ رشد متناهی ثابت کرده و از آن برای بررسی همگرایی بسط گابور در l^2 (r^2)‎ ‎‎ کمک می گیریم. همچنین در این فصل قضیه ی تجزیه ی هادامارد را برای بررسی دقت سیستم های گابور بکار می بریم. در حالتی که پارامترهای انتقال و تعدیل(مدولاسیون) مساوی باشند به بررسی ناکارایی سیستم گابور تولید شده توسط تابع گاوسین در l^2 (r)‎ می پردازیم. در فصل سوم ‎‎رساله‏، سیستم های حاصل از انتقال و سیستم های گابور به عنوان سیستم های مولد برای فضای l^2 (r^d)‎ ‎‎ ‎ بررسی شده اند. مفهوم فضای فاز و قضیه ی هان-باناخ به عنوان ابزاری به کار برده شده اند برای ارائه ی شرط های لازم و کافی برای اینکه نشان دهیم که یک سیستم حاصل از انتقال می تواند برای فضای ‎l^2 (r^d)‎ ‎‎ یک سیستم مولد باشد. بررسی پایداری مجموعه ی نمونه گیری برای فضای گابور g_h‎ و ‎همچنین‎ برخی خواص این فضا از اهداف دیگر این فصل است. با توجه به رابطه ی این مجموعه با مفهوم قاب‏، روند جدیدی برای بررسی پایداری قاب های گابور نامنظم در این فصل ارائه شده است.